第一眼看到這彈珠台的中獎表格，是不是會覺得「只有3種情況沒中獎！？」所以，來玩一局吧？

昨天到南港某大型零售店的外面看到這傳統小遊戲，有10種「情況」會中獎，只有3種「情況」摃龜，遊戲規則很簡單，打16顆彈珠讓它們落在編號1～16號的格子內，最後結算有幾個格子至少佔一顆以上的彈珠？

如果數一數彈珠總共佔了9到11格，可惜沒中獎，其餘則恭喜中獎，獲得相應的獎品如表格。當時我一看，心裡突然覺得不太對勁，難道老闆是耶穌心來著嗎？扭蛋大放送？

我直覺事情沒那麼簡單，這其中一定隱藏著數學問題！於是拿起手機問了 AI，請她算出沒中獎的機率是多少？請她一一詳細解其中有哪些數學題？

結論先行，沒中獎的機會高達…

76% 左右！

反過來說，玩4.2局才會中獎一次！

我即使看明白了數學解釋還是不太會算這些算式，不過，這四台彈珠台內的殘局已經說明了不能賭這遊戲，我算一算這些台子，有三台打出了10排，另一台則是11排，所以，前面有幾位沒中獎的苦主。

若有興趣的人可以看以下詢問及算式，雖然 AI 有一一說明，但代入數字後，我還是不知道怎麼算，而且，算的過程中數字好大，所以，跟著一起跳到最後的機率總表吧！

我如此問：

請問以下情況沒中獎的機率是多少%？

共16個格子，加上16顆彈珠，中獎的情況如表，這表的意思是玩完一局，也就是打出所有彈珠後，數一數有幾個格子裝了至少一顆彈珠？若是數出有9到11格裝了一顆以上的彈珠則沒中獎。另外，這遊戲內有哪些數學知識？請詳細說明算法及運算符的意義。同時給我中幾格的機率各是幾%？

AI 回覆了一個數學算式：

$$P(K=k) = \frac{\binom{16}{k} \times N(16,k)}{16^{16}}$$

然後說這彈珠台有離散數學／組合數學的內容，包含

• 排列組合
• 容斥原理
• 第二類斯特林數
• 佔位問題（Occupancy Problem）
• 機率分布

這遊戲在算

16 顆彈珠，最後剛好佔到 k 排的機率，符號解釋如下 $$ p $$ 大寫 P 代表 probability 機率。

$$K$$

大寫 K 代表最後被佔到的排數。

$$k$$

小寫 k 代表某一個指定排數，例如 9 排、10 排、11 排。

$$\binom{16}{k}$$

讀作 16 選 k，意思是先從 16 排裡面，選出 k 排作為有彈珠的排。

$$k!$$

讀作 k 階乘，用來計算排列方式。

$$S(16,k)$$

這叫 第二類斯特林數，意思是把 16 顆彈珠分成 k 個非空群組的方法數。

$$16^{16}$$

16的16次方，意思是每一顆彈珠都有 16 排可去，16 顆彈珠全部可能性是

$$16\times16\times16…\text{乘16次}$$

佔幾排的機率總表如下

上次修改於 2026-06-02